Desigualdades Lineales

Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar los valores que satisfacen a la desigualdad.

Resolución de desigualdades lineales

Algunas reglas útiles para la resolución de desigualdades lineales son las siguientes:

Un video que ayuda a entender y nos explica la solucion de una desigualdad lineal

http://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI

Igualdades y Desigualdades

Igualdades

Cuando dos objetos son iguales si (y solo si) son el mismo objeto. Por ejemplo, la frase "la suma de dos y dos" y la expresión "el cuatro" se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión "es igual a" o "es lo mismo que" se suele representar en matemáticas con el signo ' = ' .

Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto se llama una ecuación o una igualdad. Un ejemplo de ecuación sería "dos más dos es lo mismo que cuatro", que se suele escribir así:

2   +   2   =   4

Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto divide el conjunto en una serie de clases. El conjunto de las clases de equivalencia se llama 'conjunto cociente'. Decimos que dos elementos del conjunto original son ' equivalentes ' si pertenecen a la misma clase.

Las igualdades pueden ser:

1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si  3x = 6, solo se cumple la igualdad sí   x = 2.

2) Identidades se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo: (x – 4) = x – 8x + 16 es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de x.

Desigualdades

Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad. 

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.

Signos de Desigualdad

 No es igual

<       Menor que

>       Mayor que 

  Menor o igual que

  Mayor o igual que

Reglas para desigualdades

1. Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica: si a < b, entonces a + c < b + c y a + c < b + c

Por ejemplo: 7 < 10, de modo que 7 + 3 < 10 + 3

2. Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica: si a < b y c > 0, de modo que ac < bc y a/c < b/c

Por ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 3/2 < 7/2

3. Si ambos lados de la desigualdad son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica: si a < b y c < 0, entonces a(-c) > b(-c) y a/-c > b/-c<

Por ejemplo: 4 < 7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4/-7 > 7/-2

4. Cualquier lado de la desigualdad puede ser reemplazado por una expresión equivalente. En forma simbólica: si a < b y a = c, entonces c < b

Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario de la original.

Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼el recíproco de un número a diferente de cero está definido cómo 1/a.

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevados cada uno a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

Por tanto 0 < a < b y n > 0, entonces aⁿ < bⁿ

Propiedades de los Numeros Reales

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Conmutativa	Suma Multiplicación	a+b = b+a ab = ba	El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.	2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Asociativa	Suma Multiplicación	a+(b+c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c	Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado	7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Identidad	Suma Multiplicación	a + 0 = a  a x 1= a	Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.	-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Inversos	Suma Multiplicación	a + ( -a) = 0	La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.	15+ (-15) = 0
Distributiva	Suma respecto a Multiplicación	a(b+c) = ab + ac	El factor se distribuye a cada sumando	2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Operaciones Basicas Con Numeros Reales

Suma

La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.

                     

                                                                     3   +   3   =    6

Resta

Es una opracion de descomposición, dada una cierta cantidad, se elimina una parte de ella y se obtiene un resultado (denominado diferiencia). Es la opracion inversa a la suma, por ejemplo:

                                                                   8    -    4    =    4

El primer número se conoce como minuendo y el segundo como sustraendo que es igual a la diferiencia.

Multiplicación

La multiplicación es la opracion que consiste en sumar varias veces un mismo número.  Así, 3 x 4, indica que tenemos que sumar 3, 4 veces, es decir, 3 + 3 + 3 + 3.  

Por tanto, la multiplicación se puede considerar como una suma repetida.
Comprobamos que el resultado es el mismo:  

3 x 4 = 12    y    3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado de la misma se llama producto.

Cuando la multiplicación tiene sólo dos factores, llamamos multiplicando al número que vamos a sumar y multiplicador a las veces que lo vamos a sumar

División

La operación matemática de dividir algo. Divisor: el número por el cual el dividendo es dividido. Dividendo: el número a ser dividido. Residuo: la parte restante después de la división y que es menor que el divisor.

Números Reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

Clasificacion:

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal

Otra forma de clasificar los números reales es en números algebraicos y números trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario.

Propiedades:

 

 Fuente:

• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node12.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real#Tipos_de_n.C3.BAmeros_reales¨
• http://bc.inter.edu/facultad/smejias/algebra/conferencias/props.htm